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arctanx的不定积分怎么求
2026-05-03【朝闻】
简介求 $ int arctan x , dx $ 可以使用分部积分法。设 $ u = arctan x $，$ dv = dx $，则 $ du = frac{1}{1+x^2} dx
求 $ int arctan x , dx $ 可以使用分部积分法。设 $ u = arctan x $，$ dv = dx $，则 $ du = frac{1}{1+x^2} dx $，$ v = x $。
根据分部积分公式：
$$
int u , dv = uv - int v , du
$$
代入得：
$$
int arctan x , dx = x arctan x - int frac{x}{1+x^2} dx
$$
再对 $ int frac{x}{1+x^2} dx $ 进行积分，令 $ t = 1 + x^2 $，则 $ dt = 2x dx $，所以：
$$
int frac{x}{1+x^2} dx = frac{1}{2} ln
$$
最终结果为：
$$
int arctan x , dx = x arctan x - frac{1}{2} ln(1+x^2) + C
$$
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 设 $ u = arctan x $，$ dv = dx $ |
| 2 | 得 $ du = frac{1}{1+x^2} dx $，$ v = x $ |
| 3 | 分部积分：$ x arctan x - int frac{x}{1+x^2} dx $ |
| 4 | 积分 $ frac{x}{1+x^2} $ 得 $ frac{1}{2} ln(1+x^2) $ |
| 5 | 最终结果：$ x arctan x - frac{1}{2} ln(1+x^2) + C $ |
