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n的n分之一次方的极限
2026-06-02【朝闻】
简介研究函数 $ n^{1/n} $ 当 $ n o infty $ 时的极限，是数学分析中的经典问题。通过观察和推导，可以得出其极限为 1。 n $ n...
研究函数 $ n^{1/n} $ 当 $ n o infty $ 时的极限，是数学分析中的经典问题。通过观察和推导，可以得出其极限为 1。
| n | $ n^{1/n} $ |
| 1 | 1 |
| 2 | 1.414 |
| 3 | 1.442 |
| 4 | 1.414 |
| 10 | 1.258 |
| 100 | 1.047 |
| 1000 | 1.0069 |
随着 n 增大，$ n^{1/n} $ 逐渐趋近于 1。这一结论可通过对数变换或利用不等式证明。例如，取自然对数得 $ ln(n^{1/n}) = frac{ln n}{n} $，当 $ n o infty $ 时，$ frac{ln n}{n} o 0 $，因此原式极限为 $ e^0 = 1 $。
总结：$ lim_{n o infty} n^{1/n} = 1 $。
